Phân biệt mô hình CRC và CRE

Mục này sẽ phân biệt hai mô hình CRCvà CRE (correlated random-effects ) dưới dạng toán học, cũng như mô hình CRC với một biến nội sinh bổ sung. Phương pháp này không phụ thuộc vào số lượng các khoảng thời gian trong dữ liệu bảng mà dựa vào đặc điểm của các phương trình cấu trúc (Structural equations), phương trình rút gọn (reduced-form equations), và ma trận phương sai hiệp phương sai mà chúng thay đổi tùy theo số thời đoạn. Nhằm mục đích minh họa, mô hình ngẫu nhiên cho ba thời đoạn sẽ được lựa chọn. Mặc dù vậy, câu lệnh randcoef có thể ước lượng cho các dữ liệu bảng với từ hai đến năm thời đoạn.

Mô hình CRE

Xét mô hình ba thời đoạn với biến giả có dạng như sau:

\({y_{it}} = \varsigma + \beta {h_{it}} + {\alpha _i} + {u_{it}}\begin{array}{ccccccccccccccc}{}&{}&{}&{(3)}\end{array}\)

Ở đây, y_it là kết quả của cá nhân i tại thời điểm t. Nó là một hàm của biến giả lựa chọn (h_it) của cá nhân i (\({\alpha _i}\)) và thành phần sai số nhiễu\({u_{it}} \sim N\left( {0,\sigma _u^2} \right)\). Giả sử rằng tồn tại tính ngoại sinh ngặt của thành phần sai số.

Trong mô hình FE, chỉ báo riêng rẽ của mỗi cá nhân đơn giản là các biến giả. Trong mô hình CRE, chúng được thay bởi phép chiếu của các hành vi chấp nhận của mỗi cá nhân, hay:

\({\alpha _i} = {\lambda _0} + {\lambda _1}{h_{i1}} + {\lambda _2}{h_{i2}} + {\lambda _3}{h_{i3}} + {\upsilon _i}\begin{array}{ccccccccccccccc}{}&{}&{}&{(4)}\end{array}\)

Trong đó, h_it với t = 1, 2, 3 là các chỉ báo sẽ nhận giá trị bằng 1 nếu cá nhân i chấp nhận sử dụng tại thời điểm t và các \(\lambda \) là các hệ số chiếu. \({\upsilon _i}\) được giả định là không có tương quan với h_it (Suri 2011). Thay (4) vào (3), ta có:

\({y_{it}} = \varsigma + \beta {h_{it}} + {\lambda _0} + {\lambda _1}{h_{i1}} + {\lambda _2}{h_{i2}} + {\lambda _3}{h_{i3}} + {\upsilon _i} + {u_{it}}\)

Đặt: \({\varepsilon _{it}} = {\upsilon _i} + {u_{it}}\)

Ta có phương trình cấu trúc cho mỗi thời điểm như sau:

\(\begin{array}{lllllllllllllll}{{y_{i1}}}&{ = \left( {\varsigma + {\lambda _0}} \right) + \left( {\beta + {\lambda _1}} \right){h_{i1}} + {\lambda _2}{h_{i2}} + {\lambda _3}{h_{i3}} + {\varepsilon _{i1}}}\\{{y_{i2}}}&{ = \left( {\varsigma + {\lambda _0}} \right) + {\lambda _1}{h_{i1}} + \left( {\beta + {\lambda _2}} \right){h_{i2}} + {\lambda _3}{h_{i3}} + {\varepsilon _{i2}}}\\{{y_{i2}}}&{ = \left( {\varsigma + {\lambda _0}} \right) + {\lambda _1}{h_{i1}} + {\lambda _2}{h_{i2}} + \left( {\beta + {\lambda _3}} \right){h_{i3}} + {\varepsilon _{i3}}}\end{array}\)