Tính độ co dãn của hàm cầu – Demand elasticity
II. Áp dụng tính toán độ co dãn cho các mô hình cầu
Giả sử chúng ta tính độ co dãn tại giá trị trung bình của x, kí hiệu là \({\bar x}\). Trong thực tế, chúng ta thường hay sử dụng độ co dãn tại giá trị trung bình này.
1.
Mô hình lin – lin: \(y = {a_1} + {b_1}x\)
- \(y’ = {b_1}\)
- \({e_{\bar x}} = y’*\frac{{\bar x}}{{\bar y}} = {b_1}*\frac{{\bar x}}{{\bar y}}\)
Kết luận: Độ co dãn của y theo x tại giá trị trung bình của x chính là hệ số cắt của x nhân với tỉ lệ giữa 2 giá trị trung bình. Mô hình này cho biết một sự thay đổi tăng lên hoặc giảm xuống của y theo x mà không có thấy tốc độ của sự tăng trưởng.
2.
Mô hình lin – log: \(y = {a_2} + {b_2}\ln x\)
- \(y’ = {b_2}*\frac{1}{{\bar x}}\)
- \({e_{\bar x}} =y’*\frac{{\bar x}}{{\bar y}} = {b_2}*\frac{1}{{\bar y}}\)
Kết luận:
Độ co dãn của y theo x tại giá trị trung bình của x chính là hệ số cắt của x nhân với nghịch đảo giá trị trung bình của y.
Hệ số b2 được tính bằng dy/d(lnx), nó đo lường một sự thay đổi TUYỆT ĐỐI trong y ứng với mỗi sự thay đổi TƯƠNG ĐỐI trong x. Nếu chúng ta chia sự thay đổi tương đối trong x cho 100 thì chúng ta sẽ có phần trăm của sự thay đổi. Ví dụ, giả sử chúng ta có một phương trình ước lượng là GDP = 200 + 1500lnM (đơn vị GDP: triệu USD) thì hệ số b2 = 1500 có nghĩa một sự gia tăng trong logarit của tổng cung tiền M sẽ làm gia tăng GDP thêm một lượng 1500 triệu USD. Hay nói cách khác, cứ mỗi sự gia tăng 1% trong cung tiền sẽ làm tăng GDP thêm 1 lượng 1500/100 = 15 triệu USD.
3.
Mô hình log – lin: \(\ln y\ = {a_3} + {b_3}x\)
- \(y’ = {b_3}*\bar y\)
- \({e_{\bar x}} = y’*\frac{{\bar x}}{{\bar y}} = {b_3}*\bar x\)
Kết luận:
Độ co dãn của y theo x tại giá trị trung bình của x chính là hệ số cắt của x nhân với giá trị trung bình của x.
Hệ số b2 được tính bằng d(lny)/dx, nó đo lường một sự thay đổi TƯƠNG ĐỐI trong y ứng với mỗi sự thay đổi TUYỆT ĐỐI trong x. Nếu chúng ta nhân sự thay đổi tương đối trong Y với 100, chúng ta sẽ có phần trăm thay đổi hay tốc độ tăng trưởng của y ứng với mỗi đơn vị gia tăng trong x. Ví dụ, giả sử chúng ta có một phương trình ước lượng là lnGDP = 6.9636 + 0.0269t trong giai đoạn 1969 – 83 của Mỹ (đơn vị GDP: tỷ USD) thì hệ số b2 = 0.0269 có nghĩa GDP tăng trưởng với tốc độ 0.0269 mỗi năm hoặc 2.69%/năm. Giá trị của hệ số b1 = 6.9636 cho biết giá trị ước tính của GDP tại thời điểm ban đầu (năm 1969) vào khoảng 1057 tỷ USD.
4.
Mô hình log – log: \(\ln y\ = {a_4} + {b_4}\ln x\)
- \(y’ = {b_4}*\frac{{\bar y}}{{\bar x}}\)
- \({e_{\bar x}} = y’*\frac{{\bar x}}{{\bar y}} = {b_4}\)
Kết luận: Độ co dãn của y theo x tại giá trị trung bình của x chính bằng hệ số cắt của x (bất kể giá trị nào của x). Mô hình log – log này còn được gọi là mô hình với độ co dãn không đổi (constant elasticity model).
TÓM LẠI
Mỗi mô hình ứng với mỗi dạng hàm sẽ có những công thức tính độ co dãn khác nhau. Độ co dãn của mô hình với dạng hàm log-log sẽ không đổi với mọi giá trị của x, ngược lại mô hình với dạng hàm lin-lin sẽ có độ co dãn thay đổi theo mỗi giá trị của x (còn gọi là mô hình arying elasticity model). Hai mô hình còn lại là dạng trung gian của 2 mô hình log-log và lin-lin.
Trong các mô hình phân tích động, các công thức tính độ co dãn được đề cập ở trên chính là độ co dãn trong ngắn hạn (short-run price elasticity of demand). Độ co dãn trong dài của mô hình động (long-run price elasticity), chẳng hạn mô hình động dạng log-log như sau \(\ln {y_t} = {a_1} + {b_1}\ln {x_t} + {b_2}\ln {y_{t – 1}}\), sẽ được tính bằng cách nhân \({b_1}\) (hệ số co dãn ngắn hạn) với hệ số co dãn điều chỉnh \(\frac{1}{{\left( {1 – {b_2}} \right)}}\), cụ thể: \(\frac{{{b_1}}}{{\left( {1 – {b_2}} \right)}}\). Điều này cũng áp dụng tương tự cho các mô hình động dạng log-lin, lin-log, lin-lin khác.
Ngoài ra, các trường hợp được trình bày ở trên chỉ là trường hợp đơn giản nhất của mỗi mô hình tương ứng. Tuy nhiên, khi mở rộng ra cho mô hình với nhiều biến độc lập chúng ta cũng áp dụng tương tự cách trên cho từng biến riêng rẻ (khi đó, đạo hàm bậc 1 ở trên sẽ trở thành đạo hàm riêng phần của y theo từng biến \({x_i}\))